Fils d’un pâtissier, François Tournevache perdit son père tué dans un accident de travail. Cheminot, ajusteur, puis chef d’équipe, Tournevache adhéra au Parti communiste en 1934. En 1936, il fut secrétaire des Jeunesses communistes de Saint-Brieuc (Côtes-du-Nord).

Il fut muté à Brest en 1938.

Mobilisé en novembre 1939, François Tournevache fut libéré en juillet 1940. Placé sous surveillance policière, il fut arrêté en 1941.

Le 8 mai 1941, Chaigneau, le chef des résistants communistes cheminots, est arrêté alors qu'il s'apprêtait à mettre le feu à un chargement militaire allemand, dans un wagon ouvert par des résistants communistes, qui n'avaient pas le temps de voler les armes et les effets. François Tournevache, qui avait pris la succession de Chaigneau immédiatement après son arrestation, est arrêté à son tour. On le conduit au commissariat de la place Anatole France où il retrouve Pierre Mazé, le fils d'Ernest Mazé, un autre militant arrêté alors qu'il cherchait à récupérer des plaquettes incendiaires non brûlées jetées par les bombardiers anglais. Le juge d'instruction Le Braz, qui sera abattu plus tard par un groupe de FTP, fait inculper Tournevache, poursuivi pour propagande au profit de la IIIe Internationale et action au service d'une puissance étrangère (l'URSS).

À la Libération, il fut conseiller municipal de Morlaix et, en 1949, secrétaire de la Fédération du Finistère du PCF, puis membre du bureau du PCF Finistère. Candidat dans le canton de Lanmeur aux Cantonales de 1949 et 1955, François Tournevache fera d'abord 15%, puis 11%, face à Tanguy Prigent notamment qui emporte l'élection à chaque fois.

Il était secrétaire du syndicat CGT des cheminots de Brest en 1954.

Le 21 mars 1971, François Tournevache fut candidat sans succès aux élections municipales de Brest.

François Tournevache avait épousé à Berrien, le 18 septembre 1945, Marie Dénoyer.